関数 $e^x \sin x$ の3階微分 $(e^x \sin x)'''$ を計算し、最終的な結果を $2e^x (\cos x - \sin x)$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $e^x \sin x$ の3階微分 $(e^x \sin x)'''$ を計算し、最終的な結果を $2e^x (\cos x - \sin x)$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$e^x$ の微分は何度しても $e^x$ であること、$\sin x$ の微分を繰り返すと $\sin x$, $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ が周期的に現れることを利用します。

3階微分 $(e^x \sin x)'''$ は、積の微分公式を3回適用することで計算できます。

$(e^x \sin x)''' = (e^x)''' \sin x + 3(e^x)'' (\sin x)' + 3(e^x)' (\sin x)'' + e^x (\sin x)'''$

これは画像にある最初の式と一致します。

次に、$e^x$の微分が常に$e^x$であること、$\sin x$の微分を順番に行うことで、

$(\sin x)' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

$(\sin x)'' = -\sin x = \sin(x + \pi) = \sin(x + \frac{2\pi}{2})$

$(\sin x)''' = -\cos x = \sin(x + \frac{3\pi}{2})$

であることから、

$(e^x \sin x)''' = e^x \sin x + 3e^x \sin(x + \frac{\pi}{2}) + 3e^x \sin(x + \frac{2\pi}{2}) + e^x \sin(x + \frac{3\pi}{2})$

となります。これは画像にある2つ目の式と一致します。

さらに、三角関数の加法定理 $\sin(x + \theta) = \sin x \cos \theta + \cos x \sin \theta$ を用いて変形します。

$\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x$

$\sin(x + \pi) = -\sin x$

$\sin(x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos x$

したがって、

$(e^x \sin x)''' = e^x \sin x + 3e^x \cos x - 3e^x \sin x - e^x \cos x$

$= e^x(\sin x + 3\cos x - 3\sin x - \cos x)$

$= e^x(2\cos x - 2\sin x)$

$= 2e^x(\cos x - \sin x)$

となります。

3. 最終的な答え

$2e^x (\cos x - \sin x)$