与えられた数列 $\frac{n^2+2n}{n^3+3}$ の $n \to \infty$ のときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\frac{n^2+2n}{n^3+3}$ の $n \to \infty$ のときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の極限を計算するために、分母と分子をそれぞれ $n$ の最高次数で割ります。この場合、分母の最高次数は $n^3$ なので、分母と分子を $n^3$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2n}{n^3+3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^3}+\frac{2n}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}+\frac{3}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{3}{n^3}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$, $\frac{2}{n^2} \to 0$, $\frac{3}{n^3} \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{3}{n^3}} = \frac{0+0}{1+0} = \frac{0}{1} = 0$

3. 最終的な答え

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