与えられた極限値を求めます。問題は、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n}}$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた極限値を求めます。問題は、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n}}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。つまり、$\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n}} = \frac{\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n}}{(\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n})(\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n})}$

$(\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n})(\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n}) = (n^2 + 2n) - (n^2 - 2n) = 4n$

したがって、

$\frac{\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n}}{4n}$

次に、$n^2$をルートの中から取り出して$n$にします。

$\frac{\sqrt{n^2(1 + \frac{2}{n})} + \sqrt{n^2(1 - \frac{2}{n})}}{4n} = \frac{n\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + n\sqrt{1 - \frac{2}{n}}}{4n}$

$n$で割ります。

$\frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}}{4}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}}{4} = \frac{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}}{4} = \frac{1 + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$