次の極限値を求めます。 $$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n)$$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n)$$

2. 解き方の手順

まず、$\infty - \infty$ の不定形であるため、有理化を行います。

$$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{4n^2 + 3n} - 2n)(\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n)}{\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{(4n^2 + 3n) - (4n^2)}{\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{\sqrt{4n^2 + 3n} + 2n}$$

次に、分母と分子を $n$ で割ります。

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{4 + \frac{3}{n}} + 2}$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$ なので、

$$= \frac{3}{\sqrt{4 + 0} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$