与えられた3つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + x - 2}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + x - 2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

分子を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

よって、

$\lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1}$

$x \neq -1$のとき、$x+1$で約分できます。

$\lim_{x \to -1} (x - 1)$

$x$に$-1$を代入します。

$-1 - 1 = -2$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + x - 2}$

分子と分母をそれぞれ因数分解します。

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{(x + 3)(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)}$

$x \neq 1$のとき、$x-1$で約分できます。

$\lim_{x \to 1} \frac{x + 3}{x + 2}$

$x$に$1$を代入します。

$\frac{1 + 3}{1 + 2} = \frac{4}{3}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\frac{1 + 0 + 0}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $-2$

(2) $\frac{4}{3}$

(3) $1$