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与えられた定積分を計算します。 積分は $\int_{\pi}^{0} e^{2t} (\sin t \cos t - \sin^2 t) dt$ です。

解析学定積分三角関数部分積分指数関数
2025/7/3

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。
積分は ∫π0e2t(sin⁡tcos⁡t−sin⁡2t)dt\int_{\pi}^{0} e^{2t} (\sin t \cos t - \sin^2 t) dt です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。sin⁡tcos⁡t=12sin⁡2t\sin t \cos t = \frac{1}{2}\sin 2t および sin⁡2t=1−cos⁡2t2\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2} を用いると、
sin⁡tcos⁡t−sin⁡2t=12sin⁡2t−1−cos⁡2t2=12(sin⁡2t+cos⁡2t−1)\sin t \cos t - \sin^2 t = \frac{1}{2}\sin 2t - \frac{1 - \cos 2t}{2} = \frac{1}{2}(\sin 2t + \cos 2t - 1) となります。
したがって、積分は
∫π0e2t12(sin⁡2t+cos⁡2t−1)dt=12∫π0e2t(sin⁡2t+cos⁡2t−1)dt\int_{\pi}^{0} e^{2t} \frac{1}{2}(\sin 2t + \cos 2t - 1) dt = \frac{1}{2} \int_{\pi}^{0} e^{2t} (\sin 2t + \cos 2t - 1) dt
となります。
さらに、積分を分割します。
12∫π0e2tsin⁡2tdt+12∫π0e2tcos⁡2tdt−12∫π0e2tdt\frac{1}{2} \int_{\pi}^{0} e^{2t} \sin 2t dt + \frac{1}{2} \int_{\pi}^{0} e^{2t} \cos 2t dt - \frac{1}{2} \int_{\pi}^{0} e^{2t} dt
I1=∫e2tsin⁡2tdtI_1 = \int e^{2t} \sin 2t dt と I2=∫e2tcos⁡2tdtI_2 = \int e^{2t} \cos 2t dt を部分積分で計算します。
I1=∫e2tsin⁡2tdt=12e2tsin⁡2t−∫e2tcos⁡2tdt=12e2tsin⁡2t−I2I_1 = \int e^{2t} \sin 2t dt = \frac{1}{2}e^{2t}\sin 2t - \int e^{2t} \cos 2t dt = \frac{1}{2}e^{2t}\sin 2t - I_2
I2=∫e2tcos⁡2tdt=12e2tcos⁡2t+∫e2tsin⁡2tdt=12e2tcos⁡2t+I1I_2 = \int e^{2t} \cos 2t dt = \frac{1}{2}e^{2t}\cos 2t + \int e^{2t} \sin 2t dt = \frac{1}{2}e^{2t}\cos 2t + I_1
これらを連立させて解きます。
I1=12e2tsin⁡2t−12e2tcos⁡2t−I1I_1 = \frac{1}{2}e^{2t}\sin 2t - \frac{1}{2}e^{2t}\cos 2t - I_1
2I1=12e2t(sin⁡2t−cos⁡2t)2I_1 = \frac{1}{2}e^{2t}(\sin 2t - \cos 2t)
I1=14e2t(sin⁡2t−cos⁡2t)I_1 = \frac{1}{4}e^{2t}(\sin 2t - \cos 2t)
I2=12e2tcos⁡2t+14e2t(sin⁡2t−cos⁡2t)=14e2t(sin⁡2t+cos⁡2t)I_2 = \frac{1}{2}e^{2t}\cos 2t + \frac{1}{4}e^{2t}(\sin 2t - \cos 2t) = \frac{1}{4}e^{2t}(\sin 2t + \cos 2t)
したがって、
∫e2tsin⁡2tdt=14e2t(sin⁡2t−cos⁡2t)\int e^{2t} \sin 2t dt = \frac{1}{4}e^{2t}(\sin 2t - \cos 2t)
∫e2tcos⁡2tdt=14e2t(sin⁡2t+cos⁡2t)\int e^{2t} \cos 2t dt = \frac{1}{4}e^{2t}(\sin 2t + \cos 2t)
∫e2tdt=12e2t\int e^{2t} dt = \frac{1}{2}e^{2t}
したがって、元の積分は
12[14e2t(sin⁡2t−cos⁡2t)+14e2t(sin⁡2t+cos⁡2t)−12e2t]π0\frac{1}{2} [\frac{1}{4}e^{2t}(\sin 2t - \cos 2t) + \frac{1}{4}e^{2t}(\sin 2t + \cos 2t) - \frac{1}{2}e^{2t}]_{\pi}^{0}
=12[14e2t(2sin⁡2t)−12e2t]π0=12[12e2tsin⁡2t−12e2t]π0= \frac{1}{2} [\frac{1}{4}e^{2t}(2\sin 2t) - \frac{1}{2}e^{2t}]_{\pi}^{0} = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}e^{2t}\sin 2t - \frac{1}{2}e^{2t}]_{\pi}^{0}
=14[e2tsin⁡2t−e2t]π0=14[(e0sin⁡0−e0)−(e2πsin⁡2π−e2π)]= \frac{1}{4} [e^{2t}\sin 2t - e^{2t}]_{\pi}^{0} = \frac{1}{4} [(e^0\sin 0 - e^0) - (e^{2\pi}\sin 2\pi - e^{2\pi})]
=14[(0−1)−(0−e2π)]=14[−1+e2π]=e2π−14= \frac{1}{4} [(0 - 1) - (0 - e^{2\pi})] = \frac{1}{4} [-1 + e^{2\pi}] = \frac{e^{2\pi} - 1}{4}

3. 最終的な答え

e2π−14\frac{e^{2\pi} - 1}{4}

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