$z = g(y)$ かつ $y = f(x)$ であり、$f$ と $g$ がともに2回微分可能であるとき、以下の式が成り立つことを示せ。 $\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} (\frac{dy}{dx})^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$

1. 問題の内容

$z = g(y)$ かつ $y = f(x)$ であり、$f$ と $g$ がともに2回微分可能であるとき、以下の式が成り立つことを示せ。

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} (\frac{dy}{dx})^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $x$ で1回微分します。連鎖律（合成関数の微分法）を用いると、

$\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$

次に、$\frac{dz}{dx}$ を $x$ でもう一度微分します。積の微分と連鎖律を用いると、

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx})$

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{dz}{dy}) \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dy} \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$

ここで、$\frac{d}{dx}(\frac{dz}{dy})$ を計算します。連鎖律を用いると、

$\frac{d}{dx}(\frac{dz}{dy}) = \frac{d}{dy}(\frac{dz}{dy}) \frac{dy}{dx} = \frac{d^2z}{dy^2} \frac{dy}{dx}$

これらを $\frac{d^2z}{dx^2}$ の式に代入すると、

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} \frac{dy}{dx} \frac{dy}{dx} + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} (\frac{dy}{dx})^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$

したがって、与えられた式が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

$\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d^2z}{dy^2} (\frac{dy}{dx})^2 + \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}$