与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|}$$

2. 解き方の手順

$x$ が $1$ に左から近づくとき、$x < 1$ となります。したがって、$x - 1 < 0$ となり、$|x - 1| = -(x - 1)$ です。

よって、

$$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x - 1)(x + 1)}{-(x - 1)}$$

$x \ne 1$ であるから、$x - 1 \ne 0$ なので、$x - 1$ で約分できます。

$$\lim_{x \to 1^-} \frac{(x - 1)(x + 1)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 1)$$

$x$ が $1$ に近づくとき、$x + 1$ は $1 + 1 = 2$ に近づくので、

$$\lim_{x \to 1^-} -(x + 1) = -(1 + 1) = -2$$

3. 最終的な答え

-2