関数 $f(x, y) = x^3 + 2xy + y^2 - x$ の停留点を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^3 + 2xy + y^2 - x$ の停留点を求める。

2. 解き方の手順

停留点を求めるには、まず偏導関数を求め、それらが同時に0になる点を求める。

まず、$x$に関する偏微分を計算する。

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 2y - 1$$

次に、$y$に関する偏微分を計算する。

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 2y$$

停留点では、これらの偏導関数が両方とも0になる。したがって、以下の連立方程式を解く。

$$3x^2 + 2y - 1 = 0$$

$$2x + 2y = 0$$

2番目の式から、$y = -x$ が得られる。これを最初の式に代入すると、

$$3x^2 + 2(-x) - 1 = 0$$

$$3x^2 - 2x - 1 = 0$$

この2次方程式を解く。因数分解すると、

$$(3x + 1)(x - 1) = 0$$

したがって、$x = 1$ または $x = -\frac{1}{3}$。

$x = 1$ の場合、$y = -1$。

$x = -\frac{1}{3}$ の場合、$y = \frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

したがって、停留点は $(1, -1)$ と $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ である。