$z = \log(x^2 + y^2)$, $x = u - v$, $y = u + v$ という関係式が与えられたとき、$z_u = \frac{\partial z}{\partial u}$ と $z_v = \frac{\partial z}{\partial v}$ を求めよ。

## 問題21 (1) の解答

1. 問題の内容

$z = \log(x^2 + y^2)$, $x = u - v$, $y = u + v$ という関係式が与えられたとき、$z_u = \frac{\partial z}{\partial u}$ と $z_v = \frac{\partial z}{\partial v}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数の偏微分の公式を用いる。

まず、$z$ を $x, y$ で偏微分する。

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}$$

次に、$x, y$ を $u, v$ で偏微分する。

$$\frac{\partial x}{\partial u} = 1$$

$$\frac{\partial x}{\partial v} = -1$$

$$\frac{\partial y}{\partial u} = 1$$

$$\frac{\partial y}{\partial v} = 1$$

$z_u$ と $z_v$ は次のようになる。

$$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$$

$$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$$

上記で求めた偏微分を代入する。

$$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{2x}{x^2 + y^2} (1) + \frac{2y}{x^2 + y^2} (1) = \frac{2x + 2y}{x^2 + y^2}$$

$$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{2x}{x^2 + y^2} (-1) + \frac{2y}{x^2 + y^2} (1) = \frac{-2x + 2y}{x^2 + y^2}$$

$x = u - v$ と $y = u + v$ を代入する。

$$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{2(u - v) + 2(u + v)}{(u - v)^2 + (u + v)^2} = \frac{4u}{u^2 - 2uv + v^2 + u^2 + 2uv + v^2} = \frac{4u}{2u^2 + 2v^2} = \frac{2u}{u^2 + v^2}$$

$$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{-2(u - v) + 2(u + v)}{(u - v)^2 + (u + v)^2} = \frac{-2u + 2v + 2u + 2v}{u^2 - 2uv + v^2 + u^2 + 2uv + v^2} = \frac{4v}{2u^2 + 2v^2} = \frac{2v}{u^2 + v^2}$$

3. 最終的な答え

$$z_u = \frac{2u}{u^2 + v^2}$$

$$z_v = \frac{2v}{u^2 + v^2}$$