与えられた3つの曲線について、それぞれの特異点を求める問題です。特異点とは、曲線上の点で、その点における偏微分が両方とも0になる点のことです。

1. 問題の内容

与えられた3つの曲線について、それぞれの特異点を求める問題です。特異点とは、曲線上の点で、その点における偏微分が両方とも0になる点のことです。

2. 解き方の手順

(1) $x(x+1)^2 - y^2 = 0$ の場合:

$f(x, y) = x(x+1)^2 - y^2$ とおきます。

偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = (x+1)^2 + 2x(x+1) = (x+1)(x+1+2x) = (x+1)(3x+1)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -2y$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ となる点を求めます。

$-2y = 0$ より $y = 0$。

$(x+1)(3x+1) = 0$ より $x = -1$ または $x = -\frac{1}{3}$。

$x = -1$ のとき、 $f(-1, 0) = -1(-1+1)^2 - 0^2 = 0$ なので、点 $(-1, 0)$ は曲線上にあります。

$x = -\frac{1}{3}$ のとき、$f(-\frac{1}{3}, 0) = -\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}+1)^2 - 0^2 = -\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^2 = -\frac{4}{27} \neq 0$ なので、点 $(-\frac{1}{3}, 0)$ は曲線上にありません。

したがって、特異点は $(-1, 0)$ です。

(2) $x^3 - 3axy + y^3 = 0$ の場合:

$f(x, y) = x^3 - 3axy + y^3$ とおきます。

偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3ay$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -3ax + 3y^2$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ となる点を求めます。

$3x^2 - 3ay = 0$ より $x^2 = ay$。

$-3ax + 3y^2 = 0$ より $ax = y^2$。

$x^2 = ay$ より $y = \frac{x^2}{a}$。

$ax = y^2$ に代入すると、 $ax = (\frac{x^2}{a})^2 = \frac{x^4}{a^2}$。

$a^3x = x^4$ より $x(x^3 - a^3) = 0$。

したがって、$x = 0$ または $x = a$。

$x = 0$ のとき、$y = \frac{0^2}{a} = 0$。

$x = a$ のとき、$y = \frac{a^2}{a} = a$。

$f(0, 0) = 0^3 - 3a(0)(0) + 0^3 = 0$ なので、点 $(0, 0)$ は曲線上にあります。

$f(a, a) = a^3 - 3a(a)(a) + a^3 = a^3 - 3a^3 + a^3 = -a^3$。

$a = 0$ でない限り $f(a, a) \neq 0$ なので、曲線上にありません。もし $a = 0$ であれば、$x^3 + y^3 = 0$となり、$\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2$, $\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2$なので、$(0,0)$のみが特異点。

したがって、特異点は $(0, 0)$ (ただし、$a \neq 0$の場合)。

(3) $x^2 + y^2 - x^2y = 0$ の場合:

$f(x, y) = x^2 + y^2 - x^2y$ とおきます。

偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2xy = 2x(1-y)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y - x^2$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ となる点を求めます。

$2x(1-y) = 0$ より $x = 0$ または $y = 1$。

$2y - x^2 = 0$ より $x^2 = 2y$。

$x = 0$ のとき、$2y - 0^2 = 0$ より $y = 0$。

$y = 1$ のとき、$x^2 = 2(1) = 2$ より $x = \pm \sqrt{2}$。

$f(0, 0) = 0^2 + 0^2 - 0^2(0) = 0$ なので、点 $(0, 0)$ は曲線上にあります。

$f(\pm \sqrt{2}, 1) = (\pm \sqrt{2})^2 + 1^2 - (\pm \sqrt{2})^2(1) = 2 + 1 - 2(1) = 1 \neq 0$ なので、点 $(\pm \sqrt{2}, 1)$ は曲線上にありません。

したがって、特異点は $(0, 0)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 特異点: $(-1, 0)$

(2) 特異点: $(0, 0)$ (ただし、$a \neq 0$の場合)

(3) 特異点: $(0, 0)$