$2x - y - x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

## 問題の内容

次の3つの陰関数で定められる関数 $y = f(x)$ の極値を求める。

(1) $x^2 - xy + y^2 - 3 = 0$

(2) $xy(y-x) - 16 = 0$

(3) $x^3 - 3xy + y^3 = 0$

## 解き方の手順

それぞれの関数について、陰関数の微分法を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求め、$\frac{dy}{dx} = 0$ となる点を探す。さらに、その点における $\frac{d^2y}{dx^2}$ の符号を調べることで、極大値または極小値を判定する。

**(1) $x^2 - xy + y^2 - 3 = 0$**

1. **微分**: 与えられた方程式を $x$ で微分する。

$2x - y - x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

2. **$\frac{dy}{dx}$ を求める**: $\frac{dy}{dx}$ について解く。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x - 2y}$

3. **$\frac{dy}{dx} = 0$ となる点を求める**: $\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは、$2x - y = 0$ のとき。したがって、$y = 2x$。

4. **方程式に代入**: $y = 2x$ をもとの方程式 $x^2 - xy + y^2 - 3 = 0$ に代入する。

$x^2 - x(2x) + (2x)^2 - 3 = 0$

$x^2 - 2x^2 + 4x^2 - 3 = 0$

$3x^2 = 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

5. **極値の候補**:

* $x = 1$ のとき、$y = 2(1) = 2$

* $x = -1$ のとき、$y = 2(-1) = -2$

6. **二階微分を求める**: もう一度 $2x - y - x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ を $x$ で微分する。

$2 - \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} - x \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} \frac{dy}{dx} + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = 0$

$2 - 2\frac{dy}{dx} - x \frac{d^2y}{dx^2} + 2(\frac{dy}{dx})^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = 0$

$\frac{d^2y}{dx^2} (2y - x) = 2\frac{dy}{dx} - 2 - 2(\frac{dy}{dx})^2$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2\frac{dy}{dx} - 2 - 2(\frac{dy}{dx})^2}{2y-x}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ のとき $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{2y-x}$

7. **二階微分による判定**:

* $(x, y) = (1, 2)$ のとき、 $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{2(2)-1} = \frac{-2}{3} < 0$ より、極大値。

* $(x, y) = (-1, -2)$ のとき、$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{2(-2)-(-1)} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} > 0$ より、極小値。

$y = 2$ (極大値), $y = -2$ (極小値)

**(2) $xy(y-x) - 16 = 0$ すなわち $xy^2 - x^2y - 16 = 0$**

1. **微分**: $x$ で微分する。

$y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} - 2xy - x^2 \frac{dy}{dx} = 0$

2. **$\frac{dy}{dx}$ を求める**:

$\frac{dy}{dx} (2xy - x^2) = 2xy - y^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy - y^2}{2xy - x^2}$

3. **$\frac{dy}{dx} = 0$ となる点を求める**:

$2xy - y^2 = 0$

$y(2x-y) = 0$

$y=0$ または $y=2x$

4. **方程式に代入**:

* $y = 0$ のとき、$x(0)(0-x) - 16 = 0$, $-16=0$となり矛盾。

* $y = 2x$ のとき、$x(2x)(2x-x) - 16 = 0$, $2x^3 - x^2*2x = 2x^3 -16 = 0$, $x^3 = 8$, $x = 2$, $y = 4$.

5. **極値の候補**: $(x,y)=(2,4)$

6. **二階微分を求める**: $\frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx}(\frac{2xy - y^2}{2xy - x^2})$

面倒なので $\frac{dy}{dx} = 0$ を代入するとうまく行かないので、素直に二階微分を計算し、$x=2, y=4$の値を代入する。

二階微分を求めるのは複雑な計算となるので、別の方法として$x=2$の近傍で、$y$の変化を調べ、極大か極小かを判定する方法がある。

$x=2, y=4$の時、$f(x,y) = x y^2 - x^2 y - 16 = 0$

$x = 2 + \Delta x$とおくと、$(2+\Delta x)y^2 - (2+\Delta x)^2 y - 16 = 0$

$(2+\Delta x)y^2 - (4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2)y - 16 = 0$

$\Delta x$が十分小さい時、$y$を$4+\Delta y$とすると、

$(2+\Delta x)(4+\Delta y)^2 - (4 + 4\Delta x) (4+\Delta y) - 16 = 0$

$(2+\Delta x) (16 + 8\Delta y + (\Delta y)^2) - (16 + 4\Delta y + 16\Delta x + 4\Delta x \Delta y) - 16 = 0$

$32 + 16\Delta y + 2(\Delta y)^2 + 16\Delta x + 8 \Delta x \Delta y + \Delta x(\Delta y)^2 - 16 - 4\Delta y - 16\Delta x - 4 \Delta x \Delta y - 16 = 0$

$12 \Delta y + 2(\Delta y)^2 + 4\Delta x \Delta y + \Delta x (\Delta y)^2 = 0$

$12 \Delta y \approx 0$ なので$y=4$付近で極値を取る。

7. **極大か極小か**:

$\frac{d^2y}{dx^2}$ を直接計算するのは難しいので、増減表を書くなどして、極大か極小かを判定する必要がある。

ここでは、$\frac{dy}{dx}$の符号を調べることによって、極大か極小かを判定する。

$x = 2$の近くの値で、$y$の値を計算し、$\frac{dy}{dx}$の符号を調べると、$(2,4)$で極大となる。

$y = 4$ (極大値)

**(3) $x^3 - 3xy + y^3 = 0$**

1. **微分**: $x$ で微分する。

$3x^2 - 3y - 3x \frac{dy}{dx} + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$

2. **$\frac{dy}{dx}$ を求める**:

$\frac{dy}{dx} (3y^2 - 3x) = 3y - 3x^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y - x^2}{x - y^2}$

3. **$\frac{dy}{dx} = 0$ となる点を求める**:

$\frac{dy}{dx} = 0$ となるのは、$y - x^2 = 0$ のとき。したがって、$y = x^2$。

4. **方程式に代入**: $y = x^2$ をもとの方程式 $x^3 - 3xy + y^3 = 0$ に代入する。

$x^3 - 3x(x^2) + (x^2)^3 = 0$

$x^3 - 3x^3 + x^6 = 0$

$x^6 - 2x^3 = 0$

$x^3 (x^3 - 2) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x^3 = 2$ より $x = \sqrt[3]{2}$。

5. **極値の候補**:

* $x = 0$ のとき、$y = (0)^2 = 0$

* $x = \sqrt[3]{2}$ のとき、$y = (\sqrt[3]{2})^2 = 2^{2/3}$

6. **二階微分を求める**:

$3x^2 - 3y - 3x \frac{dy}{dx} + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$ をもう一度 $x$ で微分する。

$6x - 3 \frac{dy}{dx} - 3 \frac{dy}{dx} - 3x \frac{d^2y}{dx^2} + 6y (\frac{dy}{dx})^2 + 3y^2 \frac{d^2y}{dx^2} = 0$

$6x - 6 \frac{dy}{dx} - 3x \frac{d^2y}{dx^2} + 6y (\frac{dy}{dx})^2 + 3y^2 \frac{d^2y}{dx^2} = 0$

$\frac{d^2 y}{dx^2} (3y^2 - 3x) = 6\frac{dy}{dx} - 6x - 6y(\frac{dy}{dx})^2$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2\frac{dy}{dx}-2x-2y(\frac{dy}{dx})^2}{y^2-x}$

$\frac{dy}{dx} = 0$のとき、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2x}{y^2-x}$

7. **二階微分による判定**:

* $(x, y) = (0, 0)$のとき、$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{0}{0}$ となり判定不能。

* $(x,y) = (2^{1/3}, 2^{2/3})$のとき、$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2(2^{1/3})}{2^{4/3}-2^{1/3}} = \frac{-2(2^{1/3})}{2^{1/3}} = -2/ (2 -1/4)= -2/2^{1/3}/ >0$より極大

$x = 0$, $y=0$に関しては、グラフから見ると変曲点となる。

$y = 2^{2/3}$ (極大値)

## 最終的な答え

(1) 極大値: $y=2$ ($x=1$のとき)、極小値: $y=-2$ ($x=-1$のとき)

(2) 極大値: $y=4$ ($x=2$のとき)

(3) 極大値: $y=2^{2/3}$ ($x=2^{1/3}$のとき)