与えられた陰関数 $y=f(x)$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。以下の3つの式について計算します。 (1) $x^2 + xy - y^2 = 1$ (2) $x^3 - 3axy + y^3 = 0$ (3) $e^x + e^y = e^{x+y}$

1. 問題の内容

与えられた陰関数 $y=f(x)$ に対して、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。以下の3つの式について計算します。

(1) $x^2 + xy - y^2 = 1$

(2) $x^3 - 3axy + y^3 = 0$

(3) $e^x + e^y = e^{x+y}$

2. 解き方の手順

陰関数の微分を行うために、各方程式の両辺を $x$ で微分します。連鎖律（チェーンルール）を用いて、$y$ の関数を微分する際に $\frac{dy}{dx}$ を掛けます。

(1) $x^2 + xy - y^2 = 1$

両辺を $x$ で微分すると、

$2x + (1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx}) - 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$2x + y + x \frac{dy}{dx} - 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(x - 2y) = -2x - y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - y}{x - 2y} = \frac{2x + y}{2y - x}$

(2) $x^3 - 3axy + y^3 = 0$

両辺を $x$ で微分すると、

$3x^2 - 3a(1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx}) + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$

$3x^2 - 3ay - 3ax \frac{dy}{dx} + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 3ax) = 3ay - 3x^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3ay - 3x^2}{3y^2 - 3ax} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}$

(3) $e^x + e^y = e^{x+y}$

両辺を $x$ で微分すると、

$e^x + e^y \frac{dy}{dx} = e^{x+y}(1 + \frac{dy}{dx})$

$e^x + e^y \frac{dy}{dx} = e^{x+y} + e^{x+y} \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}(e^y - e^{x+y}) = e^{x+y} - e^x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x+y} - e^x}{e^y - e^{x+y}} = \frac{e^x(e^y - 1)}{e^y(1 - e^x)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(e^y-1)}{-e^y(e^x - 1)} = -\frac{e^x(e^y - 1)}{e^y(e^x - 1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + y}{2y - x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x(e^y - 1)}{e^y(e^x - 1)}$