関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数 $(f \circ f)(x)$ は $f(f(x))$ を意味します。

まず、$f(x)$ を $f$ に代入します。

$f(f(x)) = f(\frac{x-1}{x})$

次に、$f(\frac{x-1}{x})$ を計算します。

$f(x) = \frac{x-1}{x}$ の $x$ に $\frac{x-1}{x}$ を代入します。

$f(\frac{x-1}{x}) = \frac{\frac{x-1}{x} - 1}{\frac{x-1}{x}}$

分子を計算します。

$\frac{x-1}{x} - 1 = \frac{x-1}{x} - \frac{x}{x} = \frac{x-1-x}{x} = \frac{-1}{x}$

したがって、

$f(\frac{x-1}{x}) = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}}$

分母と分子に $x$ を掛けます。

$\frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{\frac{-1}{x} \times x}{\frac{x-1}{x} \times x} = \frac{-1}{x-1}$

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = \frac{-1}{x-1}$