次の関数の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta \le \pi$とする。 (1) $y = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ (2) $y = \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) + \sin\theta$

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta \le \pi$とする。

(1) $y = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$

(2) $y = \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) + \sin\theta$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ を三角関数の合成を用いて変形する。

$y = 2(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) = 2(\sin\theta\cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta\sin\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = 1$ となり、$y = 2$ (最大値)

このとき、$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ のとき、$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となり、$y = -\sqrt{3}$ (最小値)

このとき、$\theta = 0$

(2) $y = \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) + \sin\theta$ を加法定理を用いて変形する。

$y = \sin\theta\cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta\sin\frac{\pi}{3} + \sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + \sin\theta = \frac{3}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta$

$y = \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta - \frac{1}{2}\cos\theta) = \sqrt{3}(\sin\theta\cos\frac{\pi}{6} - \cos\theta\sin\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$

$\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) = 1$ となり、$y = \sqrt{3}$ (最大値)

このとき、$\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$\theta - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$ のとき、$\sin(\theta - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ となり、$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (最小値)

このとき、$\theta = 0$

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $2$ ($\theta = \frac{5\pi}{6}$のとき)

最小値: $-\sqrt{3}$ ($\theta = 0$のとき)

(2)

最大値: $\sqrt{3}$ ($\theta = \frac{2\pi}{3}$のとき)

最小値: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta = 0$のとき)