数列 $\{a_n\}$ が与えられています。ここで $a_n = \frac{2n+1}{2n-1}$ です。この数列の $n \to \infty$ における極限値を求める問題です。

解析学数列極限極限値
2025/7/3

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\} が与えられています。ここで an=2n+12n1a_n = \frac{2n+1}{2n-1} です。この数列の nn \to \infty における極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列 an=2n+12n1a_n = \frac{2n+1}{2n-1} の極限を計算します。
まず、分子と分母を nn で割ります。
an=2n+12n1=2nn+1n2nn1n=2+1n21na_n = \frac{2n+1}{2n-1} = \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{2n}{n} - \frac{1}{n}} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{1}{n}}
次に、nn \to \infty の極限を考えます。limn1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 であることを利用します。
limnan=limn2+1n21n=2+limn1n2limn1n=2+020=22=1\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{2 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}{2 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1

3. 最終的な答え

数列の極限値は1です。
limn2n+12n1=1\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2n-1} = 1

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