数列 $\{a_n\}$ が与えられています。ここで $a_n = \frac{2n+1}{2n-1}$ です。この数列の $n \to \infty$ における極限値を求める問題です。解析学数列極限極限値2025/7/31. 問題の内容数列 {an}\{a_n\}{an} が与えられています。ここで an=2n+12n−1a_n = \frac{2n+1}{2n-1}an=2n−12n+1 です。この数列の n→∞n \to \inftyn→∞ における極限値を求める問題です。2. 解き方の手順数列 an=2n+12n−1a_n = \frac{2n+1}{2n-1}an=2n−12n+1 の極限を計算します。まず、分子と分母を nnn で割ります。an=2n+12n−1=2nn+1n2nn−1n=2+1n2−1na_n = \frac{2n+1}{2n-1} = \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{2n}{n} - \frac{1}{n}} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{1}{n}}an=2n−12n+1=n2n−n1n2n+n1=2−n12+n1次に、n→∞n \to \inftyn→∞ の極限を考えます。limn→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0limn→∞n1=0 であることを利用します。limn→∞an=limn→∞2+1n2−1n=2+limn→∞1n2−limn→∞1n=2+02−0=22=1\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{2 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}{2 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1limn→∞an=limn→∞2−n12+n1=2−limn→∞n12+limn→∞n1=2−02+0=22=13. 最終的な答え数列の極限値は1です。limn→∞2n+12n−1=1\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2n-1} = 1limn→∞2n−12n+1=1