定積分 $\int_0^2 x^2 \sqrt{2x - x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^2 x^2 \sqrt{2x - x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算するために、根号の中を平方完成させます。

$2x - x^2 = 1 - (x^2 - 2x + 1) = 1 - (x-1)^2$

次に、$x - 1 = \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \cos \theta \, d\theta$ となります。

また、$x = 0$ のとき $\sin \theta = -1$ より $\theta = -\frac{\pi}{2}$、$x = 2$ のとき $\sin \theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

さらに、$x = \sin \theta + 1$ より $x^2 = (\sin \theta + 1)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta + 1$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 \theta + 2 \sin \theta + 1) \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 \theta + 2 \sin \theta + 1) \cos^2 \theta \, d\theta$

ここで、$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos^2 \theta \, d\theta = 0$ （奇関数の積分）となるので、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 \theta + 1) \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos^2 \theta \, d\theta + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta$

となります。

$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{1}{4} \sin^2 2\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4\theta}{2} = \frac{1}{8} (1 - \cos 4\theta)$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

したがって、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{8} (1 - \cos 4\theta) \, d\theta = \frac{1}{8} [\theta - \frac{1}{4} \sin 4\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{8} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{8}$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} [\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{2}$

よって、$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\pi}{8}$