数列 $\frac{2}{1 \cdot 3}, \frac{2}{3 \cdot 5}, \frac{2}{5 \cdot 7}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\frac{2}{1 \cdot 3}, \frac{2}{3 \cdot 5}, \frac{2}{5 \cdot 7}, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の一般項 $a_n$ は、以下のように表されます。

$a_n = \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$

ここで、部分分数分解を行います。

$\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

両辺に $(2n-1)(2n+1)$ を掛けると

$2 = A(2n+1) + B(2n-1)$

$n = \frac{1}{2}$ を代入すると、$2 = 2A$となり、$A=1$が得られます。

$n = -\frac{1}{2}$ を代入すると、$2 = -2B$となり、$B=-1$が得られます。

したがって、

$a_n = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}$

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、次のように計算できます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$S_n = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

これは、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆる「telescoping sum(望遠鏡和)」の形になっています。結果として、初めの項と最後の項のみが残ります。

$S_n = 1 - \frac{1}{2n+1}$

$S_n = \frac{2n+1-1}{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n}{2n+1}$