$f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$) および $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$) という2つの関数について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 + 2$ ($x \geq 0$) および $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \geq 2$) という2つの関数について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $(f \circ f)(x)$ を求める。

まず、$f(f(x))$ を計算する。

$f(x) = x^2 + 2$ なので、$f(f(x)) = (f(x))^2 + 2$ となる。

$f(f(x)) = (x^2+2)^2 + 2$

$= x^4 + 4x^2 + 4 + 2$

$= x^4 + 4x^2 + 6$

また、定義域を考慮する。

$x \geq 0$ なので、$f(x) = x^2 + 2 \geq 2$ である。

$f(f(x))$ において、$f(x)$ は $f$ の引数なので、$f(x) \geq 0$ である必要がある。

しかし、$x \geq 0$ のとき、$f(x) = x^2 + 2 \geq 2$ なので、$f(x) \geq 0$ は常に満たされている。

したがって、$x \geq 0$ である。

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。

まず、$f(g(x))$ を計算する。

$f(x) = x^2 + 2$ なので、$f(g(x)) = (g(x))^2 + 2$ となる。

$g(x) = \sqrt{x-2}$ なので、$f(g(x)) = (\sqrt{x-2})^2 + 2$ となる。

$f(g(x)) = x-2 + 2$

$= x$

また、定義域を考慮する。

$g(x) = \sqrt{x-2}$ の定義域は $x \geq 2$ である。

$f(g(x))$ において、$g(x)$ は $f$ の引数なので、$g(x)$ が定義されている必要がある。

$x \geq 2$ なので、この条件は満たされている。

さらに、$g(x) \geq 0$ でなければならないが、$g(x) = \sqrt{x-2}$ より、$g(x)$ は常に非負である。

したがって、$x \geq 2$ である。

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$ ($x \geq 0$)

$(f \circ g)(x) = x$ ($x \geq 2$)