(1) 関数 $F(x) = \int_a^x (x-t)e^t dt$ を $x$ について微分せよ。 (2) 次の関係を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。 $f(x) = \sin x + \int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) \cos t dt$

1. 問題の内容

(1) 関数 $F(x) = \int_a^x (x-t)e^t dt$ を $x$ について微分せよ。

(2) 次の関係を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

$f(x) = \sin x + \int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) \cos t dt$

2. 解き方の手順

(1) $F(x) = \int_a^x (x-t)e^t dt = \int_a^x xe^t dt - \int_a^x te^t dt = x\int_a^x e^t dt - \int_a^x te^t dt$

$F'(x) = \frac{d}{dx} \left(x\int_a^x e^t dt - \int_a^x te^t dt\right)$

積の微分と微積分学の基本定理を用いる。

$F'(x) = \int_a^x e^t dt + x e^x - xe^x = \int_a^x e^t dt = [e^t]_a^x = e^x - e^a$

(2) $f(x) = \sin x + \int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) \cos t dt$

ここで、$\int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) \cos t dt$ は定数なので、$C = \int_0^{\frac{\pi}{3}} f(t) \cos t dt$ とおく。

すると、$f(x) = \sin x + C$ となる。

これを積分に代入すると、

$C = \int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin t + C) \cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin t \cos t dt + \int_0^{\frac{\pi}{3}} C \cos t dt$

$C = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2} \sin (2t) dt + C \int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos t dt$

$C = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos(2t) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} + C [\sin t]_0^{\frac{\pi}{3}}$

$C = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos(\frac{2\pi}{3}) + \frac{1}{2} \cos(0) \right) + C \left(\sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0)\right)$

$C = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} (1) \right) + C (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

$C = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) + C \frac{\sqrt{3}}{2}$

$C = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{4} \right) + C \frac{\sqrt{3}}{2}$

$C = \frac{3}{8} + C \frac{\sqrt{3}}{2}$

$C - C \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{8}$

$C \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{3}{8}$

$C \left( \frac{2-\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{3}{8}$

$C = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{2-\sqrt{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = \frac{3}{4} (2+\sqrt{3})$

$f(x) = \sin x + C = \sin x + \frac{3}{4} (2+\sqrt{3}) = \sin x + \frac{6+3\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $F'(x) = e^x - e^a$

(2) $f(x) = \sin x + \frac{6+3\sqrt{3}}{4}$