与えられた条件のもとで、関数の極値を求める問題です。 (1) $x^2 + y^2 - 8 = 0$ のとき、$x+y$ の極値を求めます。 (2) $xy - 1 = 0$ のとき、$x^2 + y^2$ の極値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件のもとで、関数の極値を求める問題です。

(1) $x^2 + y^2 - 8 = 0$ のとき、$x+y$ の極値を求めます。

(2) $xy - 1 = 0$ のとき、$x^2 + y^2$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ラグランジュの未定乗数法を用いて解きます。

ラグランジュ関数を $L(x, y, \lambda) = x + y - \lambda(x^2 + y^2 - 8)$ と定義します。

$x$、$y$、$\lambda$ で偏微分し、0 とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x^2 + y^2 - 8) = 0$

最初の2つの式から、 $x = \frac{1}{2\lambda}$、$y = \frac{1}{2\lambda}$。したがって、$x = y$。

これを3番目の式に代入すると、$x^2 + x^2 = 8$、$2x^2 = 8$、$x^2 = 4$。

よって、$x = \pm 2$。

$x = 2$ のとき、$y = 2$、$x + y = 4$。

$x = -2$ のとき、$y = -2$、$x + y = -4$。

(2) ラグランジュの未定乗数法を用いて解きます。

ラグランジュ関数を $L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(xy - 1)$ と定義します。

$x$、$y$、$\lambda$ で偏微分し、0 とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(xy - 1) = 0$

最初の2つの式から、$2x = \lambda y$、$2y = \lambda x$。

$x \neq 0$、$y \neq 0$ なので、$\lambda = \frac{2x}{y}$を$2y = \lambda x$に代入すると、$2y = \frac{2x}{y}x$、$y^2 = x^2$。

したがって、$y = \pm x$。

3番目の式から、$xy = 1$。

$y = x$ のとき、$x^2 = 1$、$x = \pm 1$。このとき、$x=1$、$y=1$ または $x=-1$、$y=-1$。

$y = -x$ のとき、$xy = -x^2 = 1$ となり、$x$が実数であることに反するので不適。

$x = 1$、$y = 1$ のとき、$x^2 + y^2 = 1 + 1 = 2$。

$x = -1$、$y = -1$ のとき、$x^2 + y^2 = 1 + 1 = 2$。

3. 最終的な答え

(1) $x+y$ の極値は、4 と -4。

(2) $x^2+y^2$ の極値は、2。