$A = \sin^{-1}(\frac{1}{4})$、 $B = \sin^{-1}(\frac{2}{5})$と置いたとき、$\cos A$と$\cos B$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$A = \sin^{-1}(\frac{1}{4})$、 $B = \sin^{-1}(\frac{2}{5})$と置いたとき、$\cos A$と$\cos B$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin A = \frac{1}{4}$ であるから、$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ を用いて $\cos A$ を求めます。

同様に、$\sin B = \frac{2}{5}$ であるから、$\cos^2 B = 1 - \sin^2 B$ を用いて $\cos B$ を求めます。

$A = \sin^{-1}(\frac{1}{4})$ と $B = \sin^{-1}(\frac{2}{5})$より、$A, B$ は $-\frac{\pi}{2} \le A \le \frac{\pi}{2}$、$-\frac{\pi}{2} \le B \le \frac{\pi}{2}$の範囲にあるので、$\cos A > 0$ かつ $\cos B > 0$ となります。

まず、$\cos A$を求めます。

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\cos A = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\cos A > 0$ より、$\cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}$となります。

次に、$\cos B$を求めます。

$\cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\cos B = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\cos B > 0$ より、$\cos B = \frac{\sqrt{21}}{5}$となります。

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\cos B = \frac{\sqrt{21}}{5}$