$z = f(x, y)$ は全微分可能であり、$x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ とする。次のことを証明する。 (1) $y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ ならば、$f(x, y)$ は $r$ だけの関数である。 (2) $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ ならば、$f(x, y)$ は $\theta$ だけの関数である。

1. 問題の内容

$z = f(x, y)$ は全微分可能であり、$x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ とする。次のことを証明する。

(1) $y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ ならば、$f(x, y)$ は $r$ だけの関数である。

(2) $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ ならば、$f(x, y)$ は $\theta$ だけの関数である。

2. 解き方の手順

(1) $y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ の場合

$x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ より、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} = \cos\theta$, $\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} = \sin\theta$,

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{y}{r^2} = -\frac{\sin\theta}{r}$, $\frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{x}{r^2} = \frac{\cos\theta}{r}$

$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial z}{\partial y} \sin\theta$

$\frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial z}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}(r\cos\theta) = -y\frac{\partial z}{\partial x} + x\frac{\partial z}{\partial y}$

条件より、$y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ なので、$\frac{\partial z}{\partial \theta} = 0$ となる。

これは、$z$ が $\theta$ に依存しないことを意味し、$z$ は $r$ だけの関数である。

(2) $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ の場合

上記と同様に、

$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x} \cos\theta + \frac{\partial z}{\partial y} \sin\theta$

$\frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial z}{\partial x}(-r\sin\theta) + \frac{\partial z}{\partial y}(r\cos\theta)$

条件より、$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ なので、$r\cos\theta \frac{\partial z}{\partial x} + r\sin\theta \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ つまり、$\cos\theta \frac{\partial z}{\partial x} + \sin\theta \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ となる。

よって、$\frac{\partial z}{\partial r} = 0$ となる。

これは、$z$ が $r$ に依存しないことを意味し、$z$ は $\theta$ だけの関数である。

3. 最終的な答え

(1) $y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ ならば、$f(x, y)$ は $r$ だけの関数である。

(2) $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0$ ならば、$f(x, y)$ は $\theta$ だけの関数である。