関数 $f(x,y)$ が以下のように定義されています。 $f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4} \quad ((x,y) \neq (0,0))$ $f(0,0) = 0$ このとき、原点$(0,0)$における$(h,k)$方向の方向微分係数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が以下のように定義されています。

$f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4} \quad ((x,y) \neq (0,0))$

$f(0,0) = 0$

このとき、原点$(0,0)$における$(h,k)$方向の方向微分係数を求めます。

2. 解き方の手順

方向微分係数は、定義に従って計算します。原点における$(h,k)$方向の方向微分係数$D_{(h,k)}f(0,0)$は、次の式で与えられます。

$D_{(h,k)}f(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0+th, 0+tk) - f(0,0)}{t}$

$f(0,0) = 0$なので、

$D_{(h,k)}f(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(th, tk)}{t}$

$f(th, tk) = \frac{(th)(tk)^2}{(th)^2 + (tk)^4} = \frac{th \cdot t^2k^2}{t^2h^2 + t^4k^4} = \frac{t^3hk^2}{t^2(h^2 + t^2k^4)} = \frac{thk^2}{h^2 + t^2k^4}$

したがって、

$D_{(h,k)}f(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{thk^2}{h^2 + t^2k^4}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{hk^2}{h^2 + t^2k^4}$

$t \to 0$ のとき、$t^2k^4 \to 0$ となるため、

$D_{(h,k)}f(0,0) = \frac{hk^2}{h^2}$

ここで、$h \neq 0$ のとき、$D_{(h,k)}f(0,0) = \frac{k^2}{h}$ となります。

$h=0$のとき、$f(th, tk) = f(0, tk) = 0$となるので、

$D_{(h,k)}f(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{0}{t} = 0$

まとめると、

$h \neq 0$のとき、$D_{(h,k)}f(0,0) = \frac{k^2}{h}$

$h = 0$のとき、$D_{(h,k)}f(0,0) = 0$

3. 最終的な答え

$h \neq 0$ のとき、 $\frac{k^2}{h}$

$h = 0$ のとき、 $0$