問題は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{3^{2x}-1}{x}$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{3^{2x}-1}{x}$ を求めることです。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$ という公式を利用します。

与えられた式を $\lim_{x \to 0} \frac{3^{2x}-1}{x}$ とします。ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$ を利用するために、分子を調整します。

$2x = t$ と置換すると、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となります。また、$x = \frac{t}{2}$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{3^{2x}-1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{3^t - 1}{\frac{t}{2}} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{3^t - 1}{t}$

ここで $\lim_{t \to 0} \frac{3^t - 1}{t} = \log 3$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{3^{2x}-1}{x} = 2 \log 3$

また、$2 \log 3 = \log 3^2 = \log 9$と変形できます。

3. 最終的な答え

$2 \log 3 = \log 9$