関数 $\frac{1}{1 - \sin(x^2)}$ のマクローリン展開を $x^6$ の項まで求める。

1. 問題の内容

関数 $\frac{1}{1 - \sin(x^2)}$ のマクローリン展開を $x^6$ の項まで求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(x)$ のマクローリン展開を求める。$\sin(x)$ のマクローリン展開は、

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

である。次に、$\sin(x^2)$ のマクローリン展開を求める。これは $\sin(x)$ のマクローリン展開の $x$ を $x^2$ に置き換えることで得られる。

$\sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \dots = x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \dots$

問題では $x^6$ まで求めれば良いので、$x^{10}$ 以降の項は無視できる。

$\sin(x^2) \approx x^2 - \frac{x^6}{6}$

次に、$\frac{1}{1 - \sin(x^2)}$ のマクローリン展開を求める。これは $\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + u^3 + \dots$ という幾何級数の公式を利用する。$u = \sin(x^2)$ とおくと、

$\frac{1}{1 - \sin(x^2)} = 1 + \sin(x^2) + (\sin(x^2))^2 + (\sin(x^2))^3 + \dots$

$\sin(x^2) \approx x^2 - \frac{x^6}{6}$ なので、これを代入する。

$x^6$ の項まで求めるので、$x^6$ より大きい次数の項は無視する。

$\frac{1}{1 - \sin(x^2)} \approx 1 + (x^2 - \frac{x^6}{6}) + (x^2 - \frac{x^6}{6})^2 + (x^2 - \frac{x^6}{6})^3 + \dots$

$\approx 1 + x^2 - \frac{x^6}{6} + (x^4 - \frac{x^8}{3} + \frac{x^{12}}{36}) + (x^6 - \frac{x^{10}}{2} + \dots) + \dots$

$\approx 1 + x^2 + x^4 - \frac{x^6}{6} + x^6$

$\approx 1 + x^2 + x^4 + \frac{5x^6}{6}$

3. 最終的な答え

$1 + x^2 + x^4 + \frac{5}{6}x^6$