与えられた3つの三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$の形に変形せよ。ただし、$r>0$、$-\pi < \alpha < \pi$とする。 (1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$ (2) $-\sin \theta + \cos \theta$ (3) $3\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$

1. 問題の内容

与えられた3つの三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$の形に変形せよ。ただし、$r>0$、$-\pi < \alpha < \pi$とする。

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$

(2) $-\sin \theta + \cos \theta$

(3) $3\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式 $a\sin \theta + b\cos \theta = r\sin(\theta + \alpha)$ を利用する。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos \alpha = \frac{a}{r}$、$\sin \alpha = \frac{b}{r}$を満たす $\alpha$ を求める。

(1) $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$

$a = 1$, $b = \sqrt{3}$ より、$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$。

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{3}$。

したがって、$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$。

(2) $-\sin \theta + \cos \theta$

$a = -1$, $b = 1$ より、$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$。

$\cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ より、$\alpha = \frac{3\pi}{4}$。

したがって、$-\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{3\pi}{4}\right)$。

(3) $3\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta$

$a = 3$, $b = -\sqrt{3}$ より、$r = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。

$\cos \alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$。

したがって、$3\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 2\sqrt{3}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right)$。

3. 最終的な答え

(1) $2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)$

(2) $\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{3\pi}{4}\right)$

(3) $2\sqrt{3}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right)$