問題3は、以下の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x}$ 問題4は、$\sin(\sin^{-1} t + \cos^{-1} t) = 1$ を示す問題です。

## 回答

1. 問題の内容

問題3は、以下の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x}$

問題4は、$\sin(\sin^{-1} t + \cos^{-1} t) = 1$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x}$ について

$\sinh x$ の定義は $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ です。

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}$

ここで、$e^x$ をマクローリン展開すると $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$ となります。

同様に、$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...$ です。

したがって、$e^x - e^{-x} = 2x + \frac{2x^3}{3!} + ...$ となります。

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{2x + \frac{2x^3}{3!} + ...}{2x} = \lim_{x\to 0} (1 + \frac{x^2}{3!} + ...) = 1$

あるいは、ロピタルの定理を用いることもできます。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理より、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cosh x}{1} = \frac{\cosh 0}{1} = \frac{1}{1} = 1$

（$\cosh x$ の定義は $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ です。）

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x}$ について

$\tanh x$ の定義は $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ です。

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sinh x}{\cosh x}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} \cdot \frac{1}{\cosh x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$ であり、$\lim_{x\to 0} \cosh x = 1$ であるから、

$\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

あるいは、ロピタルの定理を用いることもできます。

$\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理より、

$\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\cosh^2 x}}{1} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{1^2} = 1$

（$\tanh x$ の微分は $\frac{1}{\cosh^2 x}$ です。）

(3) $\sin(\sin^{-1} t + \cos^{-1} t) = 1$ を示す問題について

$\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$ が成り立つことを利用します。

これは、直角三角形を考えればわかります。一つの角を$\theta$とおくと、$\sin \theta = t$。この直角三角形のもう一つの角は$\frac{\pi}{2} - \theta$なので、$\cos (\frac{\pi}{2} - \theta) = t$。よって、$\sin^{-1} t = \theta$、$\cos^{-1} t = \frac{\pi}{2} - \theta$。これらの和は$\frac{\pi}{2}$。

したがって、$\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$

$\sin(\sin^{-1} t + \cos^{-1} t) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1$

(3) $\sin(\sin^{-1} t + \cos^{-1} t) = 1$ (証明完了)