次の極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$ について

$\sinh x$ の定義は $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ です。したがって、

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\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}

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ここで、$e^x$ のTaylor展開は $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$ です。

したがって、$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$ です。

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\begin{aligned}

e^x - e^{-x} &= (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots) \\

&= 2x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{2x^5}{5!} + \dots

\end{aligned}

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したがって、

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\frac{e^x - e^{-x}}{2x} = 1 + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} + \dots

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\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} + \dots \right) = 1

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別の解法として、ロピタルの定理を使うことができます。$\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、

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\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosh x}{1} = \frac{\cosh 0}{1} = \frac{1}{1} = 1

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(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$ について

$\tanh x$ の定義は $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ です。

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\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x \cosh x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cosh x}

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(1)より$\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$であり、$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$より$\lim_{x \to 0} \cosh x = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = 1$であるため、

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\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1

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別の解法として、ロピタルの定理を使うことができます。$\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、

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\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\text{sech}^2 x}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{1}{1^2} = 1

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3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1$