(1) 関数 $y = xe^{-x^2}$ を微分する。 (2) 定積分 $\int_{-1}^{1} (3x+2)(x-2)dx$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = xe^{-x^2}$ を微分する。

(2) 定積分 $\int_{-1}^{1} (3x+2)(x-2)dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $y = xe^{-x^2}$ を微分する。

積の微分法と合成関数の微分法を使う。

$y' = (x)'e^{-x^2} + x(e^{-x^2})'$

$y' = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot e^{-x^2} \cdot (-2x)$

$y' = e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$

$y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$

(2) $\int_{-1}^{1} (3x+2)(x-2)dx$ を計算する。

まず、被積分関数を展開する。

$(3x+2)(x-2) = 3x^2 - 6x + 2x - 4 = 3x^2 - 4x - 4$

したがって、積分は

$\int_{-1}^{1} (3x^2 - 4x - 4)dx = \int_{-1}^{1} 3x^2 dx - \int_{-1}^{1} 4x dx - \int_{-1}^{1} 4 dx$

ここで、$3x^2$ と $4$ は偶関数、$4x$ は奇関数であることに注意する。

$\int_{-1}^{1} 3x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} 3x^2 dx = 2 [x^3]_0^1 = 2(1 - 0) = 2$

$\int_{-1}^{1} 4x dx = 0$

$\int_{-1}^{1} 4 dx = 4 [x]_{-1}^1 = 4(1 - (-1)) = 4(2) = 8$

よって、

$\int_{-1}^{1} (3x^2 - 4x - 4)dx = 2 - 0 - 8 = -6$

3. 最終的な答え

(1) $y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$

(2) $\int_{-1}^{1} (3x+2)(x-2)dx = -6$