与えられた3つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (\sin{\frac{\pi}{n}} + \sin{\frac{2\pi}{n}} + \sin{\frac{3\pi}{n}} + \dots + \sin{\frac{n\pi}{n}})$ (2) $\lim_{n \to \infty} n \left\{ \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \dots + \frac{1}{(2n-1)^2} \right\}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \left\{ \sqrt{n^2 - 1^2} + 2\sqrt{n^2 - 2^2} + 3\sqrt{n^2 - 3^2} + \dots + n\sqrt{n^2 - n^2} \right\}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (\sin{\frac{\pi}{n}} + \sin{\frac{2\pi}{n}} + \sin{\frac{3\pi}{n}} + \dots + \sin{\frac{n\pi}{n}})$

(2) $\lim_{n \to \infty} n \left\{ \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \dots + \frac{1}{(2n-1)^2} \right\}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \left\{ \sqrt{n^2 - 1^2} + 2\sqrt{n^2 - 2^2} + 3\sqrt{n^2 - 3^2} + \dots + n\sqrt{n^2 - n^2} \right\}$

2. 解き方の手順

(1) はリーマン和の形に変形して積分で計算します。

(2) もリーマン和の形に変形して積分で計算します。

(3) もリーマン和の形に変形して積分で計算します。

(1)

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (\sin{\frac{\pi}{n}} + \sin{\frac{2\pi}{n}} + \sin{\frac{3\pi}{n}} + \dots + \sin{\frac{n\pi}{n}}) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \sin{\frac{k\pi}{n}}$

これは $\int_0^1 \sin(\pi x) dx$ と同じです。

$\int_0^1 \sin(\pi x) dx = \left[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\right]_0^1 = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi) + \frac{1}{\pi}\cos(0) = -\frac{1}{\pi}(-1) + \frac{1}{\pi}(1) = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}$

(2)

$\lim_{n \to \infty} n \left\{ \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \dots + \frac{1}{(2n-1)^2} \right\} = \lim_{n \to \infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n+k)^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{(n+k)^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \frac{1}{(1+\frac{k}{n})^2}$

これは $\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx$ と同じです。

$\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx = \left[ -\frac{1}{1+x} \right]_0^1 = -\frac{1}{1+1} - (-\frac{1}{1+0}) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

(3)

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \left\{ \sqrt{n^2 - 1^2} + 2\sqrt{n^2 - 2^2} + 3\sqrt{n^2 - 3^2} + \dots + n\sqrt{n^2 - n^2} \right\} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k\sqrt{n^2 - k^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sqrt{n^2 - k^2} \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sqrt{1 - (\frac{k}{n})^2} \frac{1}{n}$

これは $\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} dx$ と同じです。

$u = 1 - x^2$ とすると $du = -2x dx$ で、$x dx = -\frac{1}{2}du$。

$x=0$ のとき $u=1$、$x=1$ のとき $u=0$。

$\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} dx = \int_1^0 \sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt{u} du = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(1 - 0) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{\pi}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{1}{3}$