以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2}$

2. 解き方の手順

この極限は、$x=2$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形となるため、工夫が必要です。分子の有理化を行います。

$\sqrt{x+7} - 3$ に $\sqrt{x+7} + 3$ を掛けて分子を有理化します。分母にも同じものを掛ける必要があります。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+7} - 3)(\sqrt{x+7} + 3)}{(x-2)(\sqrt{x+7} + 3)}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{x+7} - 3)(\sqrt{x+7} + 3) = (x+7) - 9 = x - 2$

したがって、極限は以下のようになります。

$\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x-2)(\sqrt{x+7} + 3)}$

$x \neq 2$ のとき、$x-2$ で約分できます。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7} + 3}$

$x \to 2$ の極限を考えると、$\sqrt{x+7} \to \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$ となります。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7} + 3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$