$a$ を定数とする。次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。 (2) $xe^x = a$

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。

(2) $xe^x = a$

2. 解き方の手順

方程式 $xe^x = a$ の実数解の個数は、関数 $f(x) = xe^x$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数に等しい。

まず、$f(x) = xe^x$ の増減を調べる。

$f'(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1$ のとき。

$f'(x)$ の符号は、$x < -1$ で $f'(x) < 0$、 $x > -1$ で $f'(x) > 0$ となる。

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極小値をとり、極小値は $f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}$ である。

また、$\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ である。

$\lim_{x \to \infty} xe^x = \infty$ である。

よって、$f(x)$ のグラフは次のようになる。

- $a < -\frac{1}{e}$ のとき、交点は存在しないので、実数解は 0 個。

- $a = -\frac{1}{e}$ のとき、交点は 1 個なので、実数解は 1 個。

- $-\frac{1}{e} < a < 0$ のとき、交点は 2 個なので、実数解は 2 個。

- $a = 0$ のとき、交点は 1 個なので、実数解は 1 個。

- $a > 0$ のとき、交点は 1 個なので、実数解は 1 個。

3. 最終的な答え

- $a < -\frac{1}{e}$ のとき、0個

- $a = -\frac{1}{e}$ のとき、1個

- $-\frac{1}{e} < a \leq 0$ のとき、2個

- $a > 0$ のとき、1個