与えられた3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \left(\sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$ (2) $\lim_{n\to\infty} n \left\{ \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \dots + \frac{1}{(2n-1)^2} \right\}$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \left\{ \sqrt{n^2 - 1^2} + 2\sqrt{n^2 - 2^2} + 3\sqrt{n^2 - 3^2} + \dots + n\sqrt{n^2 - n^2} \right\}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \left(\sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{3\pi}{n} + \dots + \sin \frac{n\pi}{n} \right)$

(2) $\lim_{n\to\infty} n \left\{ \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \dots + \frac{1}{(2n-1)^2} \right\}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \left\{ \sqrt{n^2 - 1^2} + 2\sqrt{n^2 - 2^2} + 3\sqrt{n^2 - 3^2} + \dots + n\sqrt{n^2 - n^2} \right\}$

2. 解き方の手順

(1) はリーマン和の形に変形して定積分を計算します。

(2) も同様にリーマン和の形に変形して定積分を計算します。

(3) も同様にリーマン和の形に変形して定積分を計算します。

(1)

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k\pi}{n} = \int_0^1 \sin (\pi x) dx$

$\int_0^1 \sin (\pi x) dx = \left[ -\frac{1}{\pi} \cos (\pi x) \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{\pi} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi}$

(2)

$\lim_{n\to\infty} n \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n+k)^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n^2}{(n+k)^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(1+\frac{k}{n})^2} = \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx$

$\int_0^1 \frac{1}{(1+x)^2} dx = \left[ -\frac{1}{1+x} \right]_0^1 = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}$

(3)

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k \sqrt{n^2 - k^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \sqrt{1 - \frac{k^2}{n^2}} = \int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} dx$

$t = 1 - x^2$ とおくと $dt = -2x dx$

$\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} dx = \int_1^0 \sqrt{t} \left( -\frac{1}{2} \right) dt = \frac{1}{2} \int_0^1 t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{\pi}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{1}{3}$