与えられた4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$ (4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) 分母分子に $\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}$ を掛けて計算します。

\begin{align*}

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{x^2 (\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{(1+x^2) - (1-x^2)}{x^2 (\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2 (\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}} \\

&= \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1

\end{align*}

(2) 分母分子に $\sqrt{x+1} + \sqrt{x}$ を掛けて計算します。

\begin{align*}

\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) &= \lim_{x \to \infty} \sqrt{2x} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} \\

&= \lim_{x \to \infty} \sqrt{2x} \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} \\

&= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} \\

&= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x} \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1 \right)} \\

&= \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \\

&= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}

\end{align*}

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$ を計算します。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

\begin{align*}

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \frac{5x}{\sin 5x} \frac{6x}{5x} \\

&= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \lim_{x \to 0} \frac{6}{5} \\

&= 1 \cdot 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}

\end{align*}

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$ を計算します。

$1-x^2 = (1-x)(1+x)$ なので、

\begin{align*}

\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2} &= \lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{(1-x)(1+x)}

\end{align*}

ここで、$x = 1+h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ となります。

\begin{align*}

\lim_{x \to 1} \frac{x \log x}{1-x^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h)}{(1-(1+h))(1+(1+h))} \\

&= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h)}{-h (2+h)} \\

&= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)}{2+h} \frac{\log(1+h)}{-h}

\end{align*}

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h} = 1$ なので、

\begin{align*}

\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)}{2+h} \frac{\log(1+h)}{-h} &= \frac{1+0}{2+0} \cdot (-1) \\

&= \frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\frac{6}{5}$

(4) $-\frac{1}{2}$