3次関数 $f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax$ について、以下の問いに答える。ただし、$a<2$ とする。 (1) この関数の極値を求めよ。 (2) 極大値と極小値の差が64となるように $a$ の値を定めよ。 (3) $a$ が(2)で定めた値をとるとき、この関数のグラフと $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax$ について、以下の問いに答える。ただし、$a<2$ とする。

(1) この関数の極値を求めよ。

(2) 極大値と極小値の差が64となるように $a$ の値を定めよ。

(3) $a$ が(2)で定めた値をとるとき、この関数のグラフと $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 極値を求める。

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 6x^2 - 6(a+2)x + 12a = 6(x^2 - (a+2)x + 2a) = 6(x-a)(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x=a$ または $x=2$ のとき。

$a < 2$ より、$x=a$ で極大、$x=2$ で極小となる。

極大値 $f(a) = 2a^3 - 3(a+2)a^2 + 12a^2 = 2a^3 - 3a^3 - 6a^2 + 12a^2 = -a^3 + 6a^2$

極小値 $f(2) = 2(2^3) - 3(a+2)(2^2) + 12a(2) = 16 - 12(a+2) + 24a = 16 - 12a - 24 + 24a = 12a - 8$

(2) 極大値と極小値の差が64となるように $a$ を定める。

$f(a) - f(2) = (-a^3 + 6a^2) - (12a - 8) = -a^3 + 6a^2 - 12a + 8 = 64$

$-a^3 + 6a^2 - 12a - 56 = 0$

$a^3 - 6a^2 + 12a + 56 = 0$

$(a+2)(a^2-8a+28)=0$

$a<2$ より、$a = -2$

(3) $a = -2$ のとき、$f(x) = 2x^3 - 3(-2+2)x^2 + 12(-2)x = 2x^3 - 24x$

$f(x) = 2x(x^2 - 12) = 0$ となるのは、$x = 0, \pm 2\sqrt{3}$ のとき。

グラフと $x$ 軸で囲まれた図形の面積は、

$S = \int_{-2\sqrt{3}}^{0} (2x^3 - 24x) dx - \int_{0}^{2\sqrt{3}} (2x^3 - 24x) dx$

ここで、$2x^3 - 24x$ は奇関数なので、

$S = 2 \int_{0}^{2\sqrt{3}} |2x^3 - 24x| dx = -2\int_0^{2\sqrt{3}} (2x^3 - 24x) dx = -2 [\frac{1}{2}x^4 - 12x^2]_0^{2\sqrt{3}} = -2 [\frac{1}{2}(2\sqrt{3})^4 - 12(2\sqrt{3})^2] = -2[\frac{1}{2}(144) - 12(12)] = -2[72 - 144] = -2(-72) = 144$

3. 最終的な答え

(1) 極大値：$-a^3 + 6a^2$ (at $x=a$), 極小値：$12a - 8$ (at $x=2$)

(2) $a = -2$

(3) 144