## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた極限値を計算する問題です。具体的には、以下の6つの極限を求める必要があります。

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$

2. $\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

3. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

4. $\lim_{x\to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

5. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

6. $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

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2. 解き方の手順

それぞれの極限について、以下の手順で計算します。

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1. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2}$

* 分母・分子に $\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}$ を掛けて、分子を有理化します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{(1+x^2) - (1-x^2)}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2(\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2})}$

* $x^2$ を約分します。

$= \lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}}$

* $x \to 0$ の極限を取ります。

$= \frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$

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2. $\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

* 括弧内を有理化します。

$\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) = \lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$

$= \lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$

* 分母・分子を$\sqrt{x}$で割ります。

$= \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

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3. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

* $\frac{\sin x}{x}$ の極限の性質 ($\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$) を利用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{6x}{5x}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{6}{5}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$

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4. $\lim_{x\to 1} \frac{x \log x}{1-x^2}$

* $x = 1+h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ となります。

$\lim_{x\to 1} \frac{x \log x}{1-x^2} = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h) \log(1+h)}{1 - (1+h)^2} = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h) \log(1+h)}{1 - (1+2h+h^2)} = \lim_{h\to 0} \frac{(1+h) \log(1+h)}{-2h-h^2}$

* $\log(1+h) \approx h$ ($h \to 0$ のとき) を利用します。

$\lim_{h\to 0} \frac{(1+h)h}{-h(2+h)} = \lim_{h\to 0} \frac{1+h}{-(2+h)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

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5. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$

* $y = \sin^{-1} x$ とおくと、$x = \sin y$ であり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ となります。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{\sin y} = \lim_{y\to 0} \frac{1}{\frac{\sin y}{y}} = \frac{1}{1} = 1$

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6. $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x}$

* ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+0} = 1$

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3. 最終的な答え

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}}{x^2} = 1$

2. $\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

3. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} = \frac{6}{5}$

4. $\lim_{x\to 1} \frac{x \log x}{1-x^2} = -\frac{1}{2}$

5. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = 1$

6. $\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{-1} x}{x} = 1$