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加法定理を用いて、以下の等式が成り立つことを確かめます。 (1) $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ $\cos(\pi - \theta) = - \cos \theta$ $\tan(\pi - \theta) = - \tan \theta$ (2) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$ $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$

解析学三角関数加法定理sincostan
2025/7/2

1. 問題の内容

加法定理を用いて、以下の等式が成り立つことを確かめます。
(1)
sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin \theta
cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = - \cos \theta
tan⁡(π−θ)=−tan⁡θ\tan(\pi - \theta) = - \tan \theta
(2)
sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta
cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta
tan⁡(π2−θ)=1tan⁡θ\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}

2. 解き方の手順

(1)
sin⁡(π−θ)\sin(\pi - \theta)について、加法定理 sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B を用います。
sin⁡(π−θ)=sin⁡πcos⁡θ−cos⁡πsin⁡θ=0⋅cos⁡θ−(−1)⋅sin⁡θ=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin \pi \cos \theta - \cos \pi \sin \theta = 0 \cdot \cos \theta - (-1) \cdot \sin \theta = \sin \theta
cos⁡(π−θ)\cos(\pi - \theta)について、加法定理 cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B を用います。
cos⁡(π−θ)=cos⁡πcos⁡θ+sin⁡πsin⁡θ=(−1)⋅cos⁡θ+0⋅sin⁡θ=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = \cos \pi \cos \theta + \sin \pi \sin \theta = (-1) \cdot \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta = - \cos \theta
tan⁡(π−θ)\tan(\pi - \theta)について、tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} を利用します。
tan⁡(π−θ)=sin⁡(π−θ)cos⁡(π−θ)=sin⁡θ−cos⁡θ=−tan⁡θ\tan(\pi - \theta) = \frac{\sin(\pi - \theta)}{\cos(\pi - \theta)} = \frac{\sin \theta}{-\cos \theta} = - \tan \theta
(2)
sin⁡(π2−θ)\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)について、加法定理 sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B を用います。
sin⁡(π2−θ)=sin⁡π2cos⁡θ−cos⁡π2sin⁡θ=1⋅cos⁡θ−0⋅sin⁡θ=cos⁡θ\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \frac{\pi}{2} \cos \theta - \cos \frac{\pi}{2} \sin \theta = 1 \cdot \cos \theta - 0 \cdot \sin \theta = \cos \theta
cos⁡(π2−θ)\cos(\frac{\pi}{2} - \theta)について、加法定理 cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B を用います。
cos⁡(π2−θ)=cos⁡π2cos⁡θ+sin⁡π2sin⁡θ=0⋅cos⁡θ+1⋅sin⁡θ=sin⁡θ\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \frac{\pi}{2} \cos \theta + \sin \frac{\pi}{2} \sin \theta = 0 \cdot \cos \theta + 1 \cdot \sin \theta = \sin \theta
tan⁡(π2−θ)\tan(\frac{\pi}{2} - \theta)について、tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} を利用します。
tan⁡(π2−θ)=sin⁡(π2−θ)cos⁡(π2−θ)=cos⁡θsin⁡θ=1sin⁡θcos⁡θ=1tan⁡θ\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)}{\cos(\frac{\pi}{2} - \theta)} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} = \frac{1}{\tan \theta}

3. 最終的な答え

(1)
sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin \theta
cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = - \cos \theta
tan⁡(π−θ)=−tan⁡θ\tan(\pi - \theta) = - \tan \theta
(2)
sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta
cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta
tan⁡(π2−θ)=1tan⁡θ\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}

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