$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \frac{1}{2} \cos 2\theta + 2\sin \theta + \frac{1}{2}$ の最小値とそのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \frac{1}{2} \cos 2\theta + 2\sin \theta + \frac{1}{2}$ の最小値とそのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表します。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いると、

$$y = \frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 \theta) + 2\sin \theta + \frac{1}{2}$$

$$y = \frac{1}{2} - \sin^2 \theta + 2\sin \theta + \frac{1}{2}$$

$$y = -\sin^2 \theta + 2\sin \theta + 1$$

$t = \sin \theta$ とおくと、$-1 \leq t \leq 1$ であり、

$$y = -t^2 + 2t + 1$$

$$y = -(t^2 - 2t) + 1$$

$$y = -(t^2 - 2t + 1 - 1) + 1$$

$$y = -(t-1)^2 + 1 + 1$$

$$y = -(t-1)^2 + 2$$

これは上に凸な放物線であり、$t=1$ のとき最大値 $2$ をとります。

次に、最小値を求めます。$t$ の範囲は $-1 \leq t \leq 1$ です。

$y = -(t-1)^2 + 2$ は、$t=1$ のとき最大値 $2$ をとり、$t$ が小さくなるほど、$y$ は小さくなります。

したがって、$t = -1$ のとき最小値をとります。

$$y = -(-1-1)^2 + 2 = -(-2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$$

よって、最小値は $-2$ です。

このとき、$\sin \theta = -1$ であるから、$\theta = \frac{3}{2}\pi$ です。

3. 最終的な答え

最小値は $-2$ で、そのときの $\theta$ の値は $\theta = \frac{3}{2}\pi$ です。