関数 $f(x_1, x_2, x_3) = e^{x_1} \sin x_2 \cos x_3$ に対して、点 $c = (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, 0)$ 周りのテイラー展開を考えます。$h = (h_1, h_2, h_3)$ とします。 (1) $\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}_+^3, |\alpha|=1} \frac{1}{\alpha!} \partial^\alpha f(c) h^\alpha$ を計算します。 (2) $\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}_+^3, |\alpha|=2} \frac{1}{\alpha!} \partial^\alpha f(c) h^\alpha$ を計算します。

1. 問題の内容

関数 $f(x_1, x_2, x_3) = e^{x_1} \sin x_2 \cos x_3$ に対して、点 $c = (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, 0)$ 周りのテイラー展開を考えます。$h = (h_1, h_2, h_3)$ とします。

(1) $\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}_+^3, |\alpha|=1} \frac{1}{\alpha!} \partial^\alpha f(c) h^\alpha$ を計算します。

(2) $\sum_{\alpha \in \mathbb{Z}_+^3, |\alpha|=2} \frac{1}{\alpha!} \partial^\alpha f(c) h^\alpha$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha$ は $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$, $(0, 0, 1)$ のいずれかです。したがって、求める和は

$\frac{\partial f}{\partial x_1}(c) h_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(c) h_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(c) h_3$

です。

まず、$f(x_1, x_2, x_3)$ の偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x_1} = e^{x_1} \sin x_2 \cos x_3$

$\frac{\partial f}{\partial x_2} = e^{x_1} \cos x_2 \cos x_3$

$\frac{\partial f}{\partial x_3} = -e^{x_1} \sin x_2 \sin x_3$

次に、$c = (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, 0)$ での偏微分の値を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x_1}(c) = e^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{\pi}{4} \cos 0 = e^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}}$

$\frac{\partial f}{\partial x_2}(c) = e^{\frac{\pi}{3}} \cos \frac{\pi}{4} \cos 0 = e^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}}$

$\frac{\partial f}{\partial x_3}(c) = -e^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{\pi}{4} \sin 0 = -e^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0 = 0$

したがって、求める和は

$\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}} h_1 + \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}} h_2 + 0 \cdot h_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}} (h_1 + h_2)$

(2) $|\alpha| = 2$ のとき、$\alpha$ は $(2, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$, $(0, 0, 2)$, $(1, 1, 0)$, $(1, 0, 1)$, $(0, 1, 1)$ のいずれかです。したがって、求める和は

$\frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(c) h_1^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(c) h_2^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2}(c) h_3^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(c) h_1 h_2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_3}(c) h_1 h_3 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_3}(c) h_2 h_3$

です。

まず、$f(x_1, x_2, x_3)$ の2階偏微分を計算します。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} = e^{x_1} \sin x_2 \cos x_3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} = -e^{x_1} \sin x_2 \cos x_3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2} = -e^{x_1} \sin x_2 \cos x_3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} = e^{x_1} \cos x_2 \cos x_3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_3} = -e^{x_1} \sin x_2 \sin x_3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_3} = -e^{x_1} \cos x_2 \sin x_3$

次に、$c = (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, 0)$ での2階偏微分の値を計算します。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(c) = e^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{\pi}{4} \cos 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(c) = -e^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{\pi}{4} \cos 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2}(c) = -e^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{\pi}{4} \cos 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(c) = e^{\frac{\pi}{3}} \cos \frac{\pi}{4} \cos 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_3}(c) = -e^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{\pi}{4} \sin 0 = 0$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_3}(c) = -e^{\frac{\pi}{3}} \cos \frac{\pi}{4} \sin 0 = 0$

したがって、求める和は

$\frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}} h_1^2 - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}} h_2^2 - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}} h_3^2 + \frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}} h_1 h_2 + 0 \cdot h_1 h_3 + 0 \cdot h_2 h_3 = \frac{\sqrt{2}}{4} e^{\frac{\pi}{3}} (h_1^2 - h_2^2 - h_3^2 + 2h_1 h_2)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{3}} (h_1 + h_2)$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{4} e^{\frac{\pi}{3}} (h_1^2 - h_2^2 - h_3^2 + 2h_1 h_2)$