関数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ について、以下の問いに答えます。ただし、$0 \le x < 2\pi$ とします。 (1) 関数の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。 (2) $y=0$ となる $x$ の値を求めます。 (3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ について、以下の問いに答えます。ただし、$0 \le x < 2\pi$ とします。

(1) 関数の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

(2) $y=0$ となる $x$ の値を求めます。

(3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数を合成します。

$y = \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)$

$y = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3}) = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$

$0 \le x < 2\pi$ より、$- \frac{\pi}{3} \le x - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$

最大値は、$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$ のときで、 $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ より $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$

最大値は、$y = 2 \times 1 = 2$

最小値は、$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1$ のときで、 $x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ より $x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$

最小値は、$y = 2 \times (-1) = -2$

(2) $y = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$ より、 $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$

$x - \frac{\pi}{3} = 0, \pi$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(3) $y \le 0$ となる $x$ の値の範囲を求めます。

$2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 0$ より、 $\sin(x - \frac{\pi}{3}) \le 0$

$\pi \le x - \frac{\pi}{3} \le 2\pi$ となるので、

$x - \frac{\pi}{3}$ の範囲は $[\pi, \frac{5\pi}{3})$ となる。

よって、$x$ の範囲は $\frac{4\pi}{3} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2 ($x = \frac{5\pi}{6}$ のとき), 最小値: -2 ($x = \frac{11\pi}{6}$ のとき)

(2) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(3) $\frac{4\pi}{3} \le x < 2\pi$