はい、承知いたしました。画像に写っている問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題を解きます。

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1. 問題の内容**

与えられた極限値を計算する問題です。

問題１の(1), (3), (2)を解きます。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x^2}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

(2) $\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} (\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

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2. 解き方の手順**

(1) 分母の有理化を行います。$\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}$ を分子と分母にかけます。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2})(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}{x^2(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{(1+x^2)-(1-x^2)}{x^2(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{x^2(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}$

$= \lim_{x\to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{\sin 5x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{6x}{5x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{6x}{5x}$

$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$

(2) $\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} (\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$

$\lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} (\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) = \lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to \infty} \sqrt{2x} \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$

$= \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 最終的な答え**

(1) の答え: 1

(3) の答え: $\frac{6}{5}$

(2) の答え: $\frac{\sqrt{2}}{2}$