関数 $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ の極値を求めるために、導関数を計算し、微分係数が0となる $x$ の値を求め、増減表を作成する。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ の極値を求めるために、導関数を計算し、微分係数が0となる $x$ の値を求め、増減表を作成する。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ を微分します。

$f(x) = x^{1/2} + (1-x)^{1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}(-1)$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}$

$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} - \frac{1}{2} (1-x)^{-1/2}$

従って、(1) = 1/2, (2) = 1/2, (3) = 1/2, (4) = 1, (5) = 1/2

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2}(1-x)^{-1/2}$

$x^{-1/2} = (1-x)^{-1/2}$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

$\sqrt{x} = \sqrt{1-x}$

$x = 1-x$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2} = 0.5$

従って、(6) = 0.5

$x=0.5$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べます。

$0 < x < 0.5$ のとき、$f'(x) > 0$

$0.5 < x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

増減表より、$x=0.5$ で極大となる。

$f(0.5) = \sqrt{0.5} + \sqrt{1-0.5} = \sqrt{0.5} + \sqrt{0.5} = 2\sqrt{0.5} = 2\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

従って、(7) = 0.5, (8) = 極大値

3. 最終的な答え

(1) 1/2

(2) 1/2

(3) 1/2

(4) 1

(5) 1/2

(6) 0.5

(7) 0.5

(8) 極大値