$f(x)$ が連続関数であるとき、$\vert f(x) \vert$ も連続関数であるという命題は真である。この命題の逆の真偽を判定し、真であれば証明を与え、偽であれば反例を与える。逆の命題は、$\vert f(x) \vert$ が連続関数であるとき、$f(x)$ も連続関数である、というものである。

1. 問題の内容

$f(x)$ が連続関数であるとき、$\vert f(x) \vert$ も連続関数であるという命題は真である。この命題の逆の真偽を判定し、真であれば証明を与え、偽であれば反例を与える。逆の命題は、$\vert f(x) \vert$ が連続関数であるとき、$f(x)$ も連続関数である、というものである。

2. 解き方の手順

逆の命題「$\vert f(x) \vert$ が連続関数であるとき、$f(x)$ も連続関数である」が偽であることを示す反例を挙げる。

反例として、関数 $f(x)$ を次のように定義する。

$f(x) = \begin{cases} 1 & (x \ge 0) \\ -1 & (x < 0) \end{cases}$

このとき、

$\vert f(x) \vert = 1$ (すべての $x$ に対して)

したがって、$\vert f(x) \vert$ は連続関数である。しかし、$f(x)$ は $x = 0$ で不連続である。なぜなら、$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ であり、$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ であり、$\lim_{x \to 0^+} f(x) \ne \lim_{x \to 0^-} f(x)$ が成り立つからである。

3. 最終的な答え

逆の命題「$\vert f(x) \vert$ が連続関数であるとき、$f(x)$ も連続関数である」は偽である。

反例:

$f(x) = \begin{cases} 1 & (x \ge 0) \\ -1 & (x < 0) \end{cases}$

このとき、$\vert f(x) \vert = 1$ は連続だが、$f(x)$ は $x=0$ で不連続。