問題1は、次の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + x - 2}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1}$ 問題2は、次の2つの関数について、指定された点における微分係数を、定義に従い極限を用いて求める問題です。 (1) $f(x) = 2x^2 + x - 4$ について、$x = 1$ における微分係数 (2) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 5$ について、$x = -1$ における微分係数

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題1は、次の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + x - 2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1}$

問題2は、次の2つの関数について、指定された点における微分係数を、定義に従い極限を用いて求める問題です。

(1) $f(x) = 2x^2 + x - 4$ について、$x = 1$ における微分係数

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 5$ について、$x = -1$ における微分係数

2. 解き方の手順

問題1

(1)

$\frac{x^2 - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1$ ($x \neq -1$)

$\lim_{x \to -1} (x - 1) = -1 - 1 = -2$

(2)

$\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + x - 2} = \frac{(x + 3)(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{x + 3}{x + 2}$ ($x \neq 1$)

$\lim_{x \to 1} \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{1 + 3}{1 + 2} = \frac{4}{3}$

(3)

$\frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1} = \frac{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}{x^2(1 - \frac{1}{x^2})} = \frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{1 - 0} = 1$

問題2

(1)

$f(x) = 2x^2 + x - 4$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$

$f(1) = 2(1)^2 + 1 - 4 = 2 + 1 - 4 = -1$

$f(1 + h) = 2(1 + h)^2 + (1 + h) - 4 = 2(1 + 2h + h^2) + 1 + h - 4 = 2 + 4h + 2h^2 + 1 + h - 4 = 2h^2 + 5h - 1$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(2h^2 + 5h - 1) - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h^2 + 5h}{h} = \lim_{h \to 0} (2h + 5) = 5$

(2)

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 5$

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + h) - f(-1)}{h}$

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -1 - 3 - 2 + 5 = -1$

$f(-1 + h) = (-1 + h)^3 - 3(-1 + h)^2 + 2(-1 + h) + 5 = (-1 + 3h - 3h^2 + h^3) - 3(1 - 2h + h^2) + (-2 + 2h) + 5 = -1 + 3h - 3h^2 + h^3 - 3 + 6h - 3h^2 - 2 + 2h + 5 = h^3 - 6h^2 + 11h - 1$

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^3 - 6h^2 + 11h - 1) - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 - 6h^2 + 11h}{h} = \lim_{h \to 0} (h^2 - 6h + 11) = 11$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1} = -2$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + x - 2} = \frac{4}{3}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1} = 1$

問題2

(1) $f'(1) = 5$

(2) $f'(-1) = 11$