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与えられた二重積分を計算する問題です。積分は $\int_{0}^{6} \int_{0}^{4-\frac{2}{3}x} (6-2x) \, dy \, dx$ で表されます。

解析学二重積分積分計算
2025/7/3

1. 問題の内容

与えられた二重積分を計算する問題です。積分は ∫06∫04−23x(6−2x) dy dx\int_{0}^{6} \int_{0}^{4-\frac{2}{3}x} (6-2x) \, dy \, dx で表されます。

2. 解き方の手順

まず、内側の積分を yy について計算します。
∫04−23x(6−2x) dy=(6−2x)∫04−23xdy=(6−2x)[y]04−23x=(6−2x)(4−23x)\int_{0}^{4-\frac{2}{3}x} (6-2x) \, dy = (6-2x) \int_{0}^{4-\frac{2}{3}x} dy = (6-2x) [y]_{0}^{4-\frac{2}{3}x} = (6-2x)(4-\frac{2}{3}x)
次に、外側の積分を xx について計算します。
∫06(6−2x)(4−23x) dx=∫06(24−4x−8x+43x2) dx=∫06(24−12x+43x2) dx\int_{0}^{6} (6-2x)(4-\frac{2}{3}x) \, dx = \int_{0}^{6} (24 - 4x - 8x + \frac{4}{3}x^2) \, dx = \int_{0}^{6} (24 - 12x + \frac{4}{3}x^2) \, dx
この積分を計算します。
∫06(24−12x+43x2) dx=[24x−6x2+49x3]06=24(6)−6(62)+49(63)−0=144−216+49(216)=144−216+4(24)=144−216+96=24\int_{0}^{6} (24 - 12x + \frac{4}{3}x^2) \, dx = [24x - 6x^2 + \frac{4}{9}x^3]_{0}^{6} = 24(6) - 6(6^2) + \frac{4}{9}(6^3) - 0 = 144 - 216 + \frac{4}{9}(216) = 144 - 216 + 4(24) = 144 - 216 + 96 = 24

3. 最終的な答え

24

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