与えられた関数 $f(x,y)$ の臨界点と、その臨界点における極値を判定する問題です。2つの関数 $f(x,y) = 10x^2 + 8xy + 16y^2 + 22x - 8y$ と $f(x,y) = (xy - y)e^{-2x-y}$ について、それぞれ臨界点を求め、判別式 $\Delta$ および2階偏微分係数 $f_{xx}$ を用いて極大値、極小値、鞍点を判定します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y)$ の臨界点と、その臨界点における極値を判定する問題です。2つの関数 $f(x,y) = 10x^2 + 8xy + 16y^2 + 22x - 8y$ と $f(x,y) = (xy - y)e^{-2x-y}$ について、それぞれ臨界点を求め、判別式 $\Delta$ および2階偏微分係数 $f_{xx}$ を用いて極大値、極小値、鞍点を判定します。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y) = 10x^2 + 8xy + 16y^2 + 22x - 8y$ の場合：

まず、偏導関数を求めます。

$f_x = 20x + 8y + 22$

$f_y = 8x + 32y - 8$

臨界点を求めるために $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$20x + 8y = -22$

$8x + 32y = 8$

これを解くと $x = -2$、 $y = 0.75 = \frac{3}{4}$ が得られます。

したがって、臨界点は $(-2, \frac{3}{4})$ です。

次に、2階偏導関数を求めます。

$f_{xx} = 20$

$f_{yy} = 32$

$f_{xy} = 8$

判別式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$\Delta = 20 \cdot 32 - 8^2 = 640 - 64 = 576$

$f_{xx} = 20 > 0$ かつ $\Delta = 576 > 0$ であるから、臨界点 $(-2, \frac{3}{4})$ は極小点です。

(2) $f(x,y) = (xy - y)e^{-2x-y}$ の場合：

まず、偏導関数を求めます。

$f_x = (y)e^{-2x-y} + (xy - y)(-2)e^{-2x-y} = (y - 2xy + 2y)e^{-2x-y} = (3y - 2xy)e^{-2x-y}$

$f_y = (x - 1)e^{-2x-y} + (xy - y)(-1)e^{-2x-y} = (x - 1 - xy + y)e^{-2x-y}$

臨界点を求めるために $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$f_x = 0$ より $(3y - 2xy)e^{-2x-y} = 0$ なので、 $y(3 - 2x) = 0$。したがって、$y = 0$ または $x = \frac{3}{2}$。

$f_y = 0$ より $(x - 1 - xy + y)e^{-2x-y} = 0$ なので、 $x - 1 - xy + y = 0$。

(a) $y = 0$ のとき、$x - 1 = 0$ なので、$x = 1$。よって、臨界点は $(1, 0)$。

(b) $x = \frac{3}{2}$ のとき、$\frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2}y + y = 0$ より、$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}y = 0$。したがって、$y = 1$。よって、臨界点は $(\frac{3}{2}, 1)$。

したがって、臨界点は $(1, 0)$ と $(\frac{3}{2}, 1)$ です。$x$ 座標の小さい順に並べると $(1, 0)$ と $(\frac{3}{2}, 1)$ です。

次に、2階偏導関数を求めます。

$f_{xx} = (-2y)e^{-2x-y} + (3y - 2xy)(-2)e^{-2x-y} = (-2y - 6y + 4xy)e^{-2x-y} = (4xy - 8y)e^{-2x-y}$

$f_{yy} = (x - 1) (-1)e^{-2x-y} + (x - 1 - xy + y)(-1)e^{-2x-y} = (1 - x - x + 1 + xy - y)e^{-2x-y} = (2 - 2x + xy - y)e^{-2x-y}$

$f_{xy} = (3 - 2x)e^{-2x-y} + (3y - 2xy)(-1)e^{-2x-y} = (3 - 2x - 3y + 2xy)e^{-2x-y}$

(i) $(a_1, b_1) = (1, 0)$ の場合：

$f_{xx}(1, 0) = (0)e^{-2} = 0$

$f_{yy}(1, 0) = (2 - 2)e^{-2} = 0$

$f_{xy}(1, 0) = (3 - 2)e^{-2} = e^{-2}$

$\Delta(1, 0) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0 \cdot 0 - (e^{-2})^2 = -e^{-4}$

$\Delta(1, 0) = -e^{-4} < 0$ より、鞍点です。

(ii) $(a_2, b_2) = (\frac{3}{2}, 1)$ の場合：

$f_{xx}(\frac{3}{2}, 1) = (4(\frac{3}{2})(1) - 8(1))e^{-3-1} = (6 - 8)e^{-4} = -2e^{-4}$

$f_{yy}(\frac{3}{2}, 1) = (2 - 2(\frac{3}{2}) + (\frac{3}{2})(1) - 1)e^{-4} = (2 - 3 + \frac{3}{2} - 1)e^{-4} = (-\frac{3}{2})e^{-4}$

$f_{xy}(\frac{3}{2}, 1) = (3 - 2(\frac{3}{2}) - 3(1) + 2(\frac{3}{2})(1))e^{-4} = (3 - 3 - 3 + 3)e^{-4} = 0$

$\Delta(\frac{3}{2}, 1) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2e^{-4})(-\frac{3}{2}e^{-4}) - 0^2 = 3e^{-8}$

$\Delta(\frac{3}{2}, 1) = 3e^{-8} > 0$ かつ $f_{xx}(\frac{3}{2}, 1) = -2e^{-4} < 0$ であるから、極大点です。

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 3/4

(3) 576

(4) 20

(5) 極小点

(6) 1

(7) 0

(8) 3/2

(9) 1

(10) -e^{-4}

(11) 0

(12) 鞍点

(13) 3e^{-8}

(14) -2e^{-4}

(15) 極大点