次の無限級数の和を求めます。 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}\right)$

1. 問題の内容

次の無限級数の和を求めます。

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}\right)$

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を2つの無限等比級数に分割します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n}$

それぞれの無限等比級数について和を計算します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots$

この級数は、初項 $a = \frac{1}{4}$、公比 $r = \frac{1}{4}$ の無限等比級数です。$|r| = \frac{1}{4} < 1$ なので、この級数は収束し、その和は次のようになります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

次に、もう一つの級数を計算します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = 2\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots\right)$

この級数は、初項 $a = \frac{1}{3}$、公比 $r = \frac{1}{3}$ の無限等比級数です。$|r| = \frac{1}{3} < 1$ なので、この級数は収束し、その和は次のようになります。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

与えられた級数の和は、それぞれの級数の和の合計です。

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$