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## 数学の問題

解析学微分増減極値最大値最小値
2025/7/3
## 数学の問題
3つの問題があります。

1. 関数 $f(x) = 3x^3 + 9x^2 + 5x - 9$ の増減表を作成し、極値およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 関数 $f(x) = xe^{3x-1}$ の増減表を作成し、極値およびそのときの $x$ の値を求めよ。

3. 関数 $f(x) = \frac{1}{3}x + \sqrt{1-x}$ において、$-3 \le x \le 1$ の範囲での増減表を作成し、$f(x)$ の最大値と最小値をそのときの $x$ の値とともに求めよ。ただし、最大値と最小値を近似値で解答してはいけない。

## 解き方の手順と答え
###

1. $f(x) = 3x^3 + 9x^2 + 5x - 9$

1. **導関数を求める:**

f′(x)=9x2+18x+5f'(x) = 9x^2 + 18x + 5

2. **$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:**

9x2+18x+5=09x^2 + 18x + 5 = 0
(3x+1)(3x+5)=0(3x + 1)(3x + 5) = 0
x=−13,−53x = -\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}

3. **増減表を作成する:**

| x | ... | -5/3 | ... | -1/3 | ... |
| :------ | :------- | :------ | :------- | :------ | :------- |
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

4. **極値を求める:**

x=−53x = -\frac{5}{3} のとき、
f(−53)=3(−53)3+9(−53)2+5(−53)−9=1259−1753−9=125−525−819=−4819f(-\frac{5}{3}) = 3(-\frac{5}{3})^3 + 9(-\frac{5}{3})^2 + 5(-\frac{5}{3}) - 9 = \frac{125}{9} - \frac{175}{3} - 9 = \frac{125 - 525 - 81}{9} = \frac{-481}{9}
極大値: −4819\frac{-481}{9}
x=−13x = -\frac{1}{3} のとき、
f(−13)=3(−13)3+9(−13)2+5(−13)−9=−19+1−53−9=−1+9−15−819=−889f(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 + 9(-\frac{1}{3})^2 + 5(-\frac{1}{3}) - 9 = -\frac{1}{9} + 1 - \frac{5}{3} - 9 = \frac{-1 + 9 - 15 - 81}{9} = \frac{-88}{9}
極小値: −889\frac{-88}{9}

5. **答え:**

極大値: x=−53x = -\frac{5}{3} のとき −4819\frac{-481}{9}
極小値: x=−13x = -\frac{1}{3} のとき −889\frac{-88}{9}
###

2. $f(x) = xe^{3x-1}$

1. **導関数を求める:**

f′(x)=e3x−1+x⋅3e3x−1=e3x−1(1+3x)f'(x) = e^{3x-1} + x \cdot 3e^{3x-1} = e^{3x-1}(1 + 3x)

2. **$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:**

e3x−1(1+3x)=0e^{3x-1}(1 + 3x) = 0
e3x−1e^{3x-1} は常に正なので、 1+3x=01 + 3x = 0
x=−13x = -\frac{1}{3}

3. **増減表を作成する:**

| x | ... | -1/3 | ... |
| :------ | :------- | :------ | :------- |
| f'(x) | - | 0 | + |
| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 |

4. **極値を求める:**

x=−13x = -\frac{1}{3} のとき、
f(−13)=−13e3(−13)−1=−13e−2=−13e2f(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}e^{3(-\frac{1}{3})-1} = -\frac{1}{3}e^{-2} = -\frac{1}{3e^2}
極小値: −13e2-\frac{1}{3e^2}

5. **答え:**

極小値: x=−13x = -\frac{1}{3} のとき −13e2-\frac{1}{3e^2}
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3. $f(x) = \frac{1}{3}x + \sqrt{1-x}$ ($-3 \le x \le 1$)

1. **導関数を求める:**

f′(x)=13+121−x⋅(−1)=13−121−xf'(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}

2. **$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:**

13=121−x\frac{1}{3} = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}
21−x=32\sqrt{1-x} = 3
1−x=32\sqrt{1-x} = \frac{3}{2}
1−x=941-x = \frac{9}{4}
x=1−94=−54x = 1 - \frac{9}{4} = -\frac{5}{4}

3. **増減表を作成する:**

| x | -3 | ... | -5/4 | ... | 1 |
| :------ | :------- | :-------- | :------ | :-------- | :------- |
| f'(x) | | - | 0 | + | |
| f(x) | | 減少 | 極小 | 増加 | |

4. **端点と極小値での $f(x)$ の値を求める:**

x=−3x = -3 のとき、
f(−3)=13(−3)+1−(−3)=−1+4=−1+2=1f(-3) = \frac{1}{3}(-3) + \sqrt{1-(-3)} = -1 + \sqrt{4} = -1 + 2 = 1
x=−54x = -\frac{5}{4} のとき、
f(−54)=13(−54)+1−(−54)=−512+94=−512+32=−5+1812=1312f(-\frac{5}{4}) = \frac{1}{3}(-\frac{5}{4}) + \sqrt{1-(-\frac{5}{4})} = -\frac{5}{12} + \sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{5}{12} + \frac{3}{2} = \frac{-5 + 18}{12} = \frac{13}{12}
x=1x = 1 のとき、
f(1)=13(1)+1−1=13+0=13f(1) = \frac{1}{3}(1) + \sqrt{1-1} = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}

5. **最大値と最小値を決定する:**

1=1212<13121 = \frac{12}{12} < \frac{13}{12}
13=412<1312\frac{1}{3} = \frac{4}{12} < \frac{13}{12}
最大値は f(−54)=1312f(-\frac{5}{4}) = \frac{13}{12}
最小値は f(1)=13f(1) = \frac{1}{3}

6. **答え:**

最大値: x=−54x = -\frac{5}{4} のとき 1312\frac{13}{12}
最小値: x=1x = 1 のとき 13\frac{1}{3}

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