次の関数 $f(x)$ について、定義に従い極限を用いて、指定された点における微分係数を求める。 (1) $f(x) = 2x^2 + x - 4$ 、 $x=1$ における微分係数。 (2) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 5$ 、 $x=-1$ における微分係数。

1. 問題の内容

次の関数 $f(x)$ について、定義に従い極限を用いて、指定された点における微分係数を求める。

(1) $f(x) = 2x^2 + x - 4$ 、 $x=1$ における微分係数。

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 5$ 、 $x=-1$ における微分係数。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

(1) $f(x) = 2x^2 + x - 4$ の場合、 $a=1$ なので、

$f(1) = 2(1)^2 + 1 - 4 = 2 + 1 - 4 = -1$

$f(1+h) = 2(1+h)^2 + (1+h) - 4 = 2(1+2h+h^2) + 1 + h - 4 = 2 + 4h + 2h^2 + 1 + h - 4 = 2h^2 + 5h - 1$

したがって、

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(2h^2 + 5h - 1) - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h^2 + 5h}{h} = \lim_{h \to 0} (2h + 5) = 5$

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 5$ の場合、 $a=-1$ なので、

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1) + 5 = -1 - 3 - 2 + 5 = -1$

$f(-1+h) = (-1+h)^3 - 3(-1+h)^2 + 2(-1+h) + 5 = (-1 + 3h - 3h^2 + h^3) - 3(1 - 2h + h^2) + (-2 + 2h) + 5 = -1 + 3h - 3h^2 + h^3 - 3 + 6h - 3h^2 - 2 + 2h + 5 = h^3 - 6h^2 + 11h - 1$

したがって、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^3 - 6h^2 + 11h - 1) - (-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 - 6h^2 + 11h}{h} = \lim_{h \to 0} (h^2 - 6h + 11) = 11$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 11